Bana dört işlemden en çok hangisini sevdiğimi sorarsanız kesinlikle toplamanın tembel kuzeni gibi duran… Ah, klavyemin dili sürçtü, dört işlemin sultanı olan çarpma işlemi derdim. İnanın, tarihte çarpma işlemi üzerine yapılan çalışmalara baktığınızda bana hak vereceksiniz. Uzatmayayım, kahveniz hazırsa konuya geçelim.
247 x 38 işleminin cevabını sorsam pek çoğumuzun zorlanacağı şüphe götürmez bir gerçek. Üzülmeyin, yalnız değilsiniz. Tarih boyunca bu zorlu çarpımlar matematikçilerin canını fena halde sıkmıştır. İÖ 1650 yılında Mısırlı bir katip “ikiye katlama/yarılama” yöntemini bulmuştur. Bu yöntemi kullanarak bulduğu sayıları toplamış ve arzu ettiği sonuca ulaştığını görmüştür. Bu yöntemi bizzat ben de denemiş biri olarak; klasik çarpım yönteminden daha zor bir yol olduğunu söylemem gerek. Belki başka bir yazımızda bundan bahsedebiliriz ama şu an buna gerek yok.
Biraz daha eskiye, İÖ 2000 yılına gidelim. Babiller bu sıkıcı çarpımdan kurtulmak için önceden hazırlanmış çarpım tablolarını kullanıyorlardı. Evet, tahmin ettiğiniz gibi: İlkokulda öğrendiğimiz çarpım tablosu yok mu, işte o. Her neyse, matematikle devam…
Zaman çarkını ilerletelim ve sizleri 7. yy.da benim sevdiğim yöntemlerden biri olan ve gelecekte bulunacak olan Napier Kemikleri yönteminin atası sayılan Hintlilerin kullandığı Gelosia yöntemiyle tanıştırayım. Eminim aşağıda verdiğim görsel yardımıyla bu yöntemi hemen anlayacaksınız. Görseller sözcüklerin bittiği yerde başlar.
Benim en sevdiğim Çin Çarpma Tekniğine gelelim. Çarpılacak sayıların çubuklarla temsil edildiği bu yöntemde kesişen nokta sayılarıyla sonuca ulaşılır. 3 × 2 işleminde soldaki rakamı ifade eden üç tane çubuğu 45 derece açıyla yan yana, paralel şekilde yerleştirelim. Sağdaki rakamı ifade eden iki çubuğu da diğer üç çubuğun üstüne 135 derece açıyla yerleştirelim. Kesişen noktaların sayısı 6 olmaktadır. Bu yöntemi kullanarak ilk başta sorduğum 247 × 38 işlemini yaptım ve görsel olarak aşağıya bıraktım. Bu yönteme alışırsanız zorlu çarpma işlemlerinin üstesinden gelebileceğinizi fark edeceksiniz. Bir de bu çubukları aklınızda canlandırmaya başladığınız zaman sizi kimse tutamaz. Bu yöntemin ilkokul çocuklarına öğretilmesini şiddetle tavsiye etmekteyim.
Evet, uzun bir yolculuktu. Babillerden Mısırlılara, oradan Hindistan ve Çin’e uğrayarak çarpma işlemi uğruna ne çileler çekildiğini gördük. Çarpma işlemi diyerek es geçtiğimiz bu işlemin altında neler yatıyormuş meğer, öyle değil mi?
Önceki Sorunun Cevabı: Güzel bir dizi, öyle değil mi? Bu sorunun birkaç çözüm yolu var. İlki, bildiğimiz toplama yoluyla sonucu öngörmek. Sorudaki kesirleri ondalık sayılara dönüştürelim. O zaman seri şu şekilde olur: 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + 0,03125 + 0,015625 + … Bu serinin ilk terimden itibaren toplamların (0,5, 0,75, 0,875, 0,9375, 0,96875, 0,98475 …) şeklinde ilerlediğini fark edersiniz. Yani gittikçe 1’e yaklaşmakta. Öyleyse sonsuza kadar giderse toplamın sonucu 1 olacaktır. Ayrıca tersten düşünün. ! tam pastanın önce yarısını, sonra çeyreğini, sonra çeyreğinin çeyreğini, sonra çeyreğinin çeyreğinin çeyreğini… yediğinizde ve buna sonsuza kadar devam ettiğinizde ortada hiç pasta kalmaz. Bu da serinin toplamının 1 olduğunu kanıtlar. Sizce? Diğer bir çözüm de şu: S = (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + … olsun. Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım. O zaman 2S = 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + … olacaktır. Sağ taraftaki eşitliğin 1 rakamı dışındaki kısmının S olduğunu gördünüz, değil mi? O zaman 2S = 1 + S olduğunu ve çözüm olan S’nin de 1 olduğunu da gördünüz sanıyorum.
Daha bir sürü çözüm yolu var. Hele geometrik bir çözüm yolu var, tadından yenmez.
Peki, şimdi de günün sorusuna gelelim: 21 + 4'ün iki katı nedir? Yorumlarda görüşürüz.
Not: Matematikte kullanılan nokta ( . ) ve x işaretleri, çarpma işlemi anlamına gelmektedir.