Haydi sizinle iki kişilik bir oyun oynayalım. Yazı tura atacağım. Masaya 1 lira koyuyoruz ve yazı gelirse o 2 lirayı alacaksınız. Aksi halde kaybedersiniz ve parayı ben alırım. Yani 1 lira kaybetmiş olursunuz. İlk oyunda kaybettiniz diyelim. Bu sefer bahsi 2 liraya çıkardınız. Yine kaybettiniz diyelim. Toplam 3 lira kaybettiğiniz için bahsi 4 lira yaptınız. Çünkü kazanırsanız hem o 3 lirayı geri alırsınız hem de 1 lira kârınız olur. Yine kaybettiniz diyelim. Kaybınız 7 lira olduğu için bu sefer de bahsi 8 liraya çıkardınız. Kaybetmeye devam ediyorsunuz ve her seferinde bahislerinizi 16, 32, 64... olarak artırıyorsunuz. Yani 2'nin katları şeklinde... Elbette bir yerde kazanacaksınız. Hep kaybetmek diye bir şey var mı hayatta? Bu olduğunda tüm kaybınızı kapatacak ve üstüne 1 lira da kâr edeceksiniz. Kulağa mükemmel geliyor, değil mi? O zaman neden herkes bu kazançlı stratejiyi uygulamıyor? Peki gerçekten böyle mi? Haydi gelin, kahveniz hazırsa şu meseleye bir açıklık getirelim:
Bu bahis artırma stratejisine kumarda Martingale Stratejisi denir. Gerçekten de sonsuz paranız ve sonsuz bahis hakkınız olsaydı bu strateji, matematiksel olarak kazanç sağlardı. Nihayetinde yazı gelir ve siz 1 lira kazanırsınız. Tahmin edeceğiniz gibi kimsenin sonsuz parası yok. Bu yüzden Martingale Stratejisi pratikte geçerliliğini yitirmektedir.
Tüh, bir an “ümit”lenmiştik! Devam…
Peki tüm parayı kaç adım sonra kaybederiz? Farz edelim, elinizde N lira var. K kez oynayıp kaybettiniz. O zaman toplam kaybınız N liradan –elinizdeki tüm paradan- fazla olursa iflas edersiniz. Yani 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2K = 2K -1 şeklinde bir denklemle bunu ifade edebiliriz. Bu denklemdeki geometrik toplamın nasıl yapıldığını bildiğinizi farz ediyorum. Bu ifade yani 2K -1 > N olduğunda iflas bayrağı çekilir. Yaklaşık bir değer aradığımız için o (-1) sayısını görmezden gelelim. Bu denklemdeki K ifadesinin değerini aradığımızdan dolayı onu yalnız bırakmalıyız. Bunu da ancak üslü ifadenin kardeşi logaritmayla yapabiliriz. Böylece kaç adım sonra tüm paramızı kaybedeceğimizi şöyle buluruz: K = log2N.
Bu harflendirme yöntemini benim gibi sevmediğinize eminim. Bu yüzden bir örnek üzerinden ne demek istediğimi anlatacağım. Diyelim ki elinizde 100 lira var. O zaman K = log2100 denkleminde K yaklaşık olarak 7 bulunur. Yani o parayla en fazla 7 tur oynayabilirsiniz. Sizce 41,5 trilyon TL serveti olan Elun Musk en fazla üst üste kaç hamle kaybederek oynayabilir? Korkmayın, sizin için hesapladım. En fazla 45 hamle... Yani 46. bahse yatıracak kadar parası kalmıyor. Ne ironi ama...
Hep kaybımızı hesapladık. Gelin, bir de kazanma şansımıza bakalım. Yöntem olarak şöyle bir yol izleyebiliriz: (Kazanma Olasılığı) = (%100 olasılık) – (Kaybetme olasılığı). O zaman kaybımıza bakalım. Bir turda kaybetme olasılığımız 1/2. Yazı tura atıyorduk, unutmayın. K kez oynarsak her turda kaybetme olasılığımız (1/2)K olacaktır. Bu çok bariz. K = log2N olduğunu öğrenmiştik. K yerine bunu koyalım. O zaman (1/2)log2N = 1/N eşitliği oluşur. Bu sonucu bulmayı size bıraktım. Şimdi de 1'den (yani %100 olasılıktan) kaybetme olasılığı 1/N ifadesini çıkarırsak kazanma olasılığımızı buluruz: 1 – (1/N).
Şimdi biraz açgözlü davranalım ve sonsuz defa kazanmak için şansımızın ne olacağına bakalım. Yani = 0,367879441
Hey, bu e ve % 37 sayısı da nereden çıktı böyle!
Aslında bunlar üzerine onlarca makale yazılabilecek ilginç iki ifade. Kısaca belirtmeden geçemeyeceğim Matematiğin en güzel, en sade ve en estetik denkleminde Euler sayısı denilen bu e sayısı yer alıyor. En iyi müşteri seçme kuralında da %37 ifadesi geçiyor. Bu ikisi için çok şey yazacağımı bilmenizi isterim. Takipte kalın!
Peki ne öğrendik? Şunu: Masaya 100 lira koyup tek seferde yazı-tura oyunu oynarsak kazanma olasılığımız % 50 olmaktadır. Ama bunun yerine Martingale stratejisine başvurursak şansımızın % 37 olduğunu öğrendik. Yani bu stratejiyle şansımız oldukça düşüyor. Gördünüz, değil mi?
Matematik kumar oynamaz. Hesabı önünüze koyar.
Konunun kumarla ilgisi yok.
Günün sorusuna gelelim. Diyelim ki saat 20.26’da uykuya daldınız. Bir gün boyunca günün herhangi bir saatinde uyandığınızda akreple yelkovanın üst üste gelmiş olma ihtimali nedir?
Önceki Sorunun Cevabı: Sakın 50 demeyin. Yoksa geç mi kaldım? Önceki yazımda da belirttiğim gibi önce çarpma işlemi yapılır. Yani önce 4’ün iki katı alınır: 8. Daha sonra 21 + 8 = 29 bulunur. Yani benim yaşım. Bu çözüme şaşırdınız mı? Eğer size “(21 + 4)’ün iki katı kaçtır?” şeklinde sormuş olsaydım elbette verdiğiniz 50 cevabı doğru olacaktı.