Elinize bir Türkiye haritası alın ve enlem-boylam olarak en ortadaki noktayı merkez olarak seçin. Bu nokta yaklaşık 39.1702o Kuzey enlemi ve 35.1430o Doğu boylamındaki Yozgat ilidir. Burayı merkez kabul eden 500 km çaplı bir çember çizin. Her bir kenarı çembere teğet olan bir kare çizin. Gözünüzde canlandı mı? Kare içinde çember... Çemberin çevrelediği alandaki insan sayısı yaklaşık olarak (çemberin alanı . 100 kişi/km2 varsayarsak) 19.635.000 kişi. Karenin çevrelediği alanda ise 25.000.000 kişi bulunuyor. Bu iki sayıyı oranlayın; 0.7854. Şimdi bunu 4 ile çarpın. Sonuç 3,1416 çıktı. Bu sayı bir yerden tanıdık geldi mi? Eski bir komşunuz olabilir mi?
Aha, buldum. Bu pi sayısı. Tam değeri değil ama yaklaşık bir değer.
Pi sayısının nüfus dağılışında ne işi var? Nüfus gibi rastgele dağılan insan kalabalığında ortaya çıkan bu pi sayısı bir tesadüf mü, saçmalık mı? Yoksa biz insanlar farkında olmadan pi sayısını sağlayacak şekilde mi dağılıyoruz? Haydi, kahveniz hazırsa şu ürkütücü konuya bir bakış atalım.
Pi sayısı, 3,14159... diye devam eden sonsuz bir aşkın sayı. Binlerce yıldır matematikçiler bu gizemli sayının peşinde. Antik Mısırlılar çemberin çevresini çapına bölerek, Arşimet çokgenler kullanarak, günümüzde ise süper bilgisayarlar çalışarak bu gizemi çözmeye çalıştı.
Ancak pi'nin bir şekerleme kutusundan çıkacağını söylesem...
1777 yılında yapılan bir deneyde düz bir zemine bir kare ve karenin içine sığacak büyüklükte bir çember çizilir. Daha sonra belli bir yükseklikten hedef gözetmeksizin karenin içine bir miktar şekerleme dökülür. Deneyde yapılan gözlemde çemberin içinde 562 adet, çember ile kare arasında 159 adet şekerleme olduğu görülüyor. O halde karenin içinde toplam 721 adet şekerleme olduğu anlaşılır. Peki dairenin içindeki şekerlemelerin sayısıyla karenin içindekileri oranlarsak ve çıkan sonucu 4 ile çarparsak ne olur?
4 . 562/721 = 3,1178...
Aha, pi sayısı... En azından yaklaşık bir değeri... Emin olun, 721 şekerleme yerine 10 bin tane kullanılsaydı pi'ye daha yakın bir değer bulunurdu. Peki ama neden? Cevap tamamen istatiksel olasılığın doğasında. Yani makro ölçekte nizamı sağlayan görünmez bir olasılık kanunu var. Ürkütücü... Bu olasılığı size şöyle anlatayım: Bir şekerlemenin çember içine düşme olasılığı;
Bu olasılığı 4 ile çarparsak pi sayısına ulaşırız. Denklemde de gördüğünüz gibi olasılık hesabı olarak çember ve karenin alanını kullandık. Yani olasılık bize der ki: "Bir şekerlemenin çemberin içine düşme olasılığı pi / 4 kadardır. Yani pi sayısı olasılığın tam merkezinde.”
Kağıt üzerinde çizdiğimiz bir çemberin ve karenin içindeki insan sayısını karşılaştırdığımızda, alanların oranı nedeniyle pi / 4 sonucuna ulaşabileceğimizi yukarıda anlattım. Peki ya çemberi ve kareyi kağıttan çıkarıp gerçek Türkiye kara parçasının üzerine çizseydik?
İşte burada işler biraz değişiyor. Gerçek dünyada insanlar bir cetvelle yerleştirilmiş gibi düzgün dağılmıyor. Bazı bölgelerde nüfus oldukça yoğunken, bazı bölgelerde neredeyse hiç insan yaşamıyor. Bu nedenle hayali çemberin içindeki toplam insan sayısını, karenin içindeki toplam insan sayısına doğrudan bölersek pi / 4 oranını elde etmeyi bekleyemeyiz. Bunu görmek için gerçek verilerle bu hesaplamaları yaparak pi sayısına ulaşma durumumuza bakalım. Öncelikle çizdiğimiz çemberin içindeki insan sayısına bakalım. Ankara, Kayseri, Eskişehir gibi çemberin içinde bulunan şehirlerdeki insan sayısı yaklaşık 14.833.000 kişi. Karenin içindeki insan sayısı da yaklaşık 24.333.000 kişi. Bu ikisini oranlayıp 4 ile çarparsak yaklaşık 2,4383347… sonucunu verir. Yani gerçek veriler pi değerinin yanından bile geçmiyor. Pi’nin hayaleti hayal oldu. Üzgünüm.
Peki ama verdiğim örnekte pi sayısı neden vardı?
Pi sayısının ortaya çıkma sebebi, nüfusun alana homojen dağıldığını varsayarak ortalama nüfus yoğunluğu üzerinden hesaplama yapılmasıdır. Yani kilometrekare başına düşen insan sayısını, o bölgenin tamamı için ortalama bir değer olarak kabul edildi. -Hatırlayın, örneğimde km2 başına 100 kişi düştüğünü varsaymıştık- Böylece tek tek insanların nerede yaşadığı hesaba katmak yerine, bölgedeki nüfus dağılımının genel yoğunluğuna öncelik verildi. Bu yöntemin sonucunda şöyle bir denklem çıkıyor;
Çemberdeki Nüfus = Çemberin alanı . Yoğunluk (insan/km2)
Karedeki Nüfus = Karenin alanı . Yoğunluk (insan/km2)
Bu ikisini oranladığımızda yoğunluk birbirini sadeleştirir ve sadece alanlar oranı kalır. Bunun da pi / 4 olduğunu ve 4 ile çarpılması halinde pi sayısını verdiğini görmüştük.
Olay bundan ibaret.
Aslında nüfus dağılımında çok daha ürkütücü bir kanun var: Zipf Kanunu. O, bir sonraki yazıya kalsın.
Sırada günün sorusu var. 18 Eylül 2026 Cuma günü yani bugünün tarihi olarak aşağıdaki saatlerden hangisi miladi yılbaşına daha yakındır? a) 11:50 b) 12:01 c)23:59 d) 00:30. Cevabınızı yorumlarda yazabilirsiniz.
Önceki Sorunun Cevabı: Nasıl bir yaş sorusu ama, öyle değil mi? Diyelim ki 19ab yılında doğmuş olsun. Çünkü 2000 yılında sağ olduğuna göre ve o yıl normal koşullarda 100 yaşında olmayacağına göre elbette 20. yy.da doğmuştur. Devam… 19ab’nin 23’te biri yaşına eşit oluyormuş. Yaş = 19ab / 23 denklemi. Yani 23 . Yaş = 19ab olur. 23’ü en az 83 ile çarparsak 20. yy.daki bir yılı bulabiliriz. O zaman sırayla deneyelim. 23 . 83 = 1909 olur. Bu doğum yılını kabul ettiğimizde yaşı 83 olacak ve 1992’de ölecektir. Ancak 2000 yılında sağ olduğuna göre bu cevap olamaz. 23 . 84 = 1932 olur. Yaşı 84 olduğuna göre 2016 yılında ölecektir. Bu gayet uygun. Ama yine de 23 . 85 = 1955 cevabına da bakalım. Yaşı 85 olduğuna göre 2040 yılında ölecektir. Ancak arkadaşı 2026 yılında ölen arkadaşını andığından bu cevap da olamaz. O halde Cahit’in 84 yaşında olduğu anlaşılır.