5 KİŞİ, 1 MAYMUN VE BİRAZ MUZ…

Paskalya adasına giden bir turist yolcu uçağı kötü hava koşulları nedeniyle kanadı bir dağın eteğine sürtünür ve uçak rotasını kaybederek Point Nemo adasına düşer. Kazadan 5 kişi, 1 maymun ve birkaç kasa da muz kurtulur. Kurtulanlar, yetkililerin onları aramaya çalışacaklarını umarak hayatta kalmaya çalışırlar. İlk gece bu beş kişiden ilki uyanır ve diğerleri fark etmeden ay ışığında muzları 5 eşit yığına ayı­rır. 1 tane muz artar ve bunu da yanındaki maymuna verir. Daha sonra 5 eşit yığından birini kendisine saklar ve yatağına döner. İkinci adam da diğerleri fark etme­den aynısını yapar. Muzları 5 eşit yığına ayırır, artan 1 muzu maymuna verir. 5 eşit yığından birini kendisine saklar ve yatağına döner. O ge­ce 3, 4 ve 5. adamlar da uyanır ve ay­nısını yaparlar. Ve sabah olur. Adamların hepsi uyanır ve hiç kimse azalan muzlardan dolayı sesini çıkaramaz. Son kez kendi aralarında muzları 5 eşit yığına ayırırlar. Yine artan 1 muzu maymuna verirler. Her birisi ayırdıkları bu 5 yığından 1 yı­ğını aldıklarında ortada hiç muz kalmaz. Buna göre başlangıçta en az kaç muz vardı?

Bugün bildiğimiz “5 gemici, 1 maymun” hikayesiyle problem, ilk kez 1888’de Lewis Carroll’ın (Alice Harikalar Diyarında’nın yazarı) günlüklerinde belirir. Problemi 20. yüzyılda dünya çapında ünlü yapan ise Martin Gardner’dır. Matematik dünyasında bu iki isim önem arz ediyor.

Bu tür sorularla hiç karşılaştınız mı bilmiyorum ama ben çok karşılaştım. Sorunun basitliği beni çok etkilemiş. çözümüyse çok uğraştırmıştır. Ancak öğ­rendiğim bir yöntemi bu soru üzerinde size göstermek istiyorum. Çözüm biraz işlem içeriyor. Eğer sorunun çözümünden sıkılır­sanız hemen atlayarak devam edebilirsi­niz. Kahveniz hazırsa çözüme geçiyorum.

En baştaki muz miktarı M olsun. Her bir yığına da Y diyelim.

Ben bu tür sorularda çözümü hep son adımdan ilk adıma doğru yapardım. Ama bu hem sıkıcı hem de karmaşıktı. Oysa sadece ilk baştaki değer ile en sondaki değeri birbirine eşitlerseniz çözüm, karanlıktaki küçük bir ışık hüzmesi gibi kendini göstermeye başlar. Yukarıdaki ilk adımda Y ifadesini yalnız bırakalım. Bulduğumuz bu Y değerini sırasıyla yukarıdan aşağıya tüm adımlara uygulayalım.

 Hepsini yazdık. Dediğim gibi, ilk terim M ile son terim olan Y₅ arasındaki ilişkiyi yukarıdaki son adımda gösterdim. Şimdi son adımdaki denklemi içler dışlar yardımıyla yazalım.

1024M - 15625Y₅ = 11529

Burada Dirac yöntemi ve lisede öğrendiğimiz klasik iki bilinmeyenli denklemlerde uyguladığımız yöntemlerle çözüme ulaşılabilir. Ancak ben daha az bilinen modüler aritmetik yöntemiyle çözmek is­terim. M'nin katsayısını Y₅ değerinin katsayısına böldüğümüzde kalan, eşitliğin sağ tarafındaki sayı olur. O zaman bunu modüler hale getirelim:
1024M = 11529 (mod 15625)

1024'ün mod 15625'teki çarpmaya göre tersi 10849'dur. Eğer bunu nasıl bulduğumu merak ederseniz “Modüler Arit­metik ve Kat Ekleme ile Lineer Diofant Denklemlerinin Çözümü" konusuna bakabi­lirsiniz. Devam…

Her iki tarafı 10849 ile çarparsak;

M = 125 078 121 (mod 15625)

M = 15621 (mod 15625)

Yani muz sayısı (M) en az 15621 olur. Nasıl ama? Peki, siz de böyle bir soru oluşturmak ister miydiniz? Ben isterdim. Bunu yapabilmek için çözümü çok iyi anlamanız gerekir. Çözümdeki zin­cirleme denklemleri kurabilirseniz siz de böyle bir soru yazabilirsiniz. Si­ze inanıyorum.

Evet, sanırım en sevdiğiniz kısma geldik: Günün sorusuna… Soru şu: 2026 yılında hatıralarını yazan bir matematikçi ölen bir arkadaşını anmak adına şunları yazar: “Cahit öldüğünde yaşı doğum tarihinin 23’te biridir. Onu en son gördüğüm 2000 yılında üç torunuyla ziyaretime gelmişti, Ziyaretime geldiğinde sizce kaç yaşındaydı?”

Önceki Sorunun Çözümü: Bir saatin akrep ve yelkovanı 24 saatlik zaman diliminde 22 kez üst üste gelir. Bu yüzden uyandığında bunlardan birini görme olasılığı 1/22 yani yaklaşık %4 kadar olur. Bu üst üste gelme saatlerini kendi gözlerinizle görmeniz için sırayla yazıyorum: 20:43:36, 21:49:03, 22:54:30, 00:00:00, 01:05:27, 02:10:54, 03:16:21, 04:21:48, 05:27:15, 06:32:42, 07:38:09, 08:43:36, 09:49:03, 10:54:30, 12:00:00, 13:05:27, 14:10:54, 15:16:21, 16:21:48, 17:27:15, 18:32:42, 19:37:09.

Bir sonraki üst üste gelme saati 20:42:36 olacaktır. Ancak 20.26’da uyuduğu için bunu sayamayız. Unutmayın, 24 saatlik zaman dilimine bakacağız. Saatler arasında 1 saat, 5 dakika ve 27 saniyelik bir fark olduğunu gördünüz, değil mi? Bunun nasıl olduğunu size bırakıyorum.

Selametle.

Not: Önceki “Matematik Kumar Oynamaz” başlıklı yazımda görünmeyen kısmı aşağıda inceleyebilirsiniz.