HEY, TAKSİ!..

            Matematiğin taksi durağından herkese selam! Bugün plakamız 72 T 1729. Kahvenizi yanınıza alın ve kemerlerinizi bağlayın. Bugün durağımızda sıradan rakamlar değil, tarihe geçen 'Taksi Sayıları' var. Peki bir taksi numarası matematiğin en efsanevi sayılarından birine nasıl dönüştü?

            Matematikte öyle sayılar vardır ki değeri, ardında yatan hikayelerle öne çıkar. Bunlardan en ünlüsü hiç şüphesiz 1729 sayısıdır. Diğer adıy­la taksi sayısı. Hikayesi de şu: Hastanede yatan Hintli matematikçi Ramanu­jen'i ziyaret eden İngiliz matematikçi Hardy. 1729 plakalı taksiye binmiştir. Hardy'nin bu 1729 sayısını sıkıcı bul­duğunu söylemesi üzerine Hintli mate­matikçi Ramanujen, "Hayır, aslında çok ilginç bir sayı; iki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilen en küçük sayı." cevabını verir.

            Gelin, bunu matematiksel dile çevirelim.

                              1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Şimdi buna cebirsel olarak bakalım ve bu dört sayıyı cebir yardımıyla bulmaya çalışalım.

                               x³ + y³ = 1729

Bu denklemin köklerini yani x ve y değerlerini bulalım.

                               (x + y) (x² - xy + y²) = 1729

                               (x² - xy + y²) = 1729 / (x + y)

Yani burada (x + y) ifadesi 1729 sayısını tam bölmektedir. 1729’un bölenleri 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729 olduğuna göre (x + y) ifadesini bu sayılara eşitleyerek (x , y) ikilisini (1 , 12) , (12 , 1) , (9 , 10) , (10 , 9) olarak bulabiliriz. Sadece biraz işlem gerekiyor, o kadar.

Peki n farklı şekilde iki küpün toplamı olarak yazılabilen başka küçük sayılar var mı? Ebette. Hatta bu Ta(n) şeklinde kısaltılarak gösterilir. Bu ifade n farklı şekilde iki farklı pozitif tam sayının küplerinin toplamı anlamına gelir. Örneğin, Ta(2) = 1729 gibi. Burada belirtmek istediğim küçük bir husus vardı. Aslında bu taksi sayısını ilk bulan kişi her ne kadar Ramanujen gibi dursa da o değildi. Ondan yaklaşık 300 yıl önce sihirli karelerde de adı geçen Fransız matematikçi Bernard Frénicle de Bessy bulmuştur.

Gelin birlikte bili­nen taksi sayılarına bir göz atalım.

Ta(2) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Ta(3) = 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Ta(3) = 87 539 319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

Ta(4), 2003 yılında Stuart Gascoigne ve Duncan Moore tarafından keşfedilen 1 801 049 058 342 701 083 sayısıdır. 

Ta(5), 1999 yılında doğrulanan 48 988 659 276 962 496 sayısıdır. 

Güzel sayılar değil mi? Bir ara bunları bilgisayarımın şifresi olarak ayarlayabilirim.

Biz daha fazla ileri gitmeden ünlü taksi sayımız 1729’a geri dönelim. Bu sayımızdan sonraki en küçük taksi sayısı ise 4104 sayısıdır.

4104 = 2³ + 16³ = 9³ + 15³

 Peki işin içine negatif sayılar girerse 1729 sayısı yine en küçük taksi sayısı  olur mu? Elbette hayır. Bu durumda en küçük taksi sayımız 91 olacaktır. 91 sayısının 1729'un bir böleni olduğuna dikkatinizi çe­kerim.

91 = 3³ + 4³ = 6³ + ( ­-5)³

Elbette bu 1729 taksi sayımızın başka özellikleri de var. İlki, bu sayı bir Carmichael sa­yısıdır. Bu özelliğin ne demek olduğunu si­zin araştırmanızı istiyorum. İkincisi, sfenik sayısıdır. Yani üç farklı asalın çarpımıdır. 1729 = 7 . 13 . 19 şeklinde ifade edebiliriz. Üçüncüsü, rakamlarının toplamı 19'dur ve 19'un tersiyle çarpımı sayımızın kendisini verir. Bu özelliğe sahip dört sayı vardır: 1, 81,1458 ve 1729. Dördüncü özelliğiyse, bir Pisagor üçlü­südür. Yani 1729² = 669² + 1596² şeklinde gösterebiliriz.

Artık caddede bir taksi gördüğünüzde gözünüzün istemeden plakaya kayacağını ve “Acaba iki farklı küpün toplamı mı?” diye hesap yapacağınızı biliyorum. Bundan sonra Hardy gibi 'Sıradan bir sayı' deyip geçmeyin. Kim bilir, belki de bindiğiniz bir sonraki taksinin plakası matematiğin yeni bir gizemidir.

Anlatacaklarım bu kadardı. Şimdi günün sorusuna bakalım. Aynı boyuttaki iki madeni paradan biri, diğerinin etrafında kaymadan tam bir tur döndürüldüğünde kendi etrafında kaç tur atmış olur?

Önceki Sorunun Cevabı: Cevap D şık­kı olacaktı. Şaşırdınız mı? Durun, açıkla­yayım. Ben soruda yılbaşına olan uzaklığı sordum. Gelecek yılbaşına olan uzaklığı sormadım. Eğer gelecek yılbaşına olan uzaklığı sorsaydım cevap C şıkkı ola­caktı. Umarım bu kelime oyunundan do­layı bana kızmadınız.

Bir sonraki durakta görüşmek üzere.