En Büyük Mü Bilmem Ama Çok Büyük

            Düşünebileceğiniz en büyük sayı nedir? Sakın sonsuz üzeri son­suz gibi değerler düşünmeyin. Son­suzluk bir sayı değil bir sıfattır. Milyon üzeri milyon faktöriyel gibi ta­nımlı ama anlamsız sayılar da dü­şünmeyin. Sayı­ları ve işlemleri rastgele birlikte kullanarak büyük sayı elde edemezsiniz.

            Evet, düşünün ve büyük bir sa­yı bulmaya çalışın. Belki milyarca ba­samaklı bir parolayı çözmek için denenebilecek olasılıkların ya da rastgele oynanabilecek satranç hamlelerinin sayısı… Olmadı mı? Her neyse, kahvenizi alın ve şu büyüklerin dünyasına bir bakış atalım.

            Bir sayının büyük olarak kabul e­dilebilir olması için şu şartlardan herhangi birini taşıması ge­rekir. İlki, sonlu ve açık bir tanı­mı olması gerekir. Yani mantıksal bir kural veya algoritma ile net bir şekilde tanımlanması gerekir. İkincisi, kombinatoryel veya te­orik problemler sonucunda ortaya çık­ması. Ü­çüncüsü, sayıları üretmek için kullanılan yöntem veya fonksiyonun büyüme hızı­dır. Büyük sayılar genellikle büyüme hiyerarşisi denilen bir yöntemle üretilir. Matematikte bilindiği üzere, toplama işlemleri bir araya gelerek çar­pmayı; çarpma işlemlerinin tekrarı üsleri; üs­lerin tekrarıysa tetrasyonları oluşturur. Her katman bir öncekinden katbekat hızlı büyür.

            2 + 2 + 2 = 3 . 2                    2 . 2 . 2 = 2³                          2^(2^2) = ³2

            Peki bu yöntemlerle üretilen büyük sayılar neler? Haydi bir göz atalım;

            10⁸⁰ : Evrendeki yaklaşık atom sa­yısıdır. Büyük bir sayı. Bizzat saydım desem yalan olur.       

            Googol (10¹⁰⁰) : Bu çok daha büyük bir sayı. Bu sayıyı evrende yazabilecek kadar yeterli atom yoktur. Saniyede bir sayı saydığımızı düşünürsek bu sayıyı 3,37 . 10⁹² yılda sayardık. Evrenin yaşının 1,38 . 10¹⁰ yıl olduğunu düşünürsek ne kadar büyük olduğunu görebiliriz. Ama yeterli değil.

            Googolplex (10^(10^100) : İnanılması güç derecede büyük bir sayı. Bu sayıyı kağıtlara yazsaydık bile evrenin hacmi bu­na yetmezdi. Googol için kağıt kullanmaya ihtiyacımız vardı ama bu sayı için kağıt yetersiz kalır.

            Skewes Sayısı (10^(10^(10^34))) : Asal sayıların dağılımıyla ilgili ünlü sınır. Muazzam büyüklükte bir sayı. Burada artık “Sıfırların sayısı kaçtır?” sorusu anlamsız kalır.

            Çıtayı biraz daha artıralım ve büyü­me hiyerarşisiyle ortaya çıkan sayılara bakalım:

            Graham Sayısı (G = g₆₄ ) : Bu sayı olağanüstü büyüklüktedir. Sakın bu sayıyı sayarsak kaç yıl geçer gibi bir soru sormayın. Zira bu çok komik olur. Önceki sayılar bunun yanında toz tanesi gibi kalır. Basamak sayısı bile kendisine yaklaşır. Artık bu aşamada üslü gösterim yetersiz kalmakta. Bu sayı o kadar büyük ki basamaklarını yazmak i­çin aşağı-yukarı ok sistemi icat edil­miştir. Bu yöntemi örnek olarak 3 ↑ ↑ 4 = 3^(3^(3^3) = ⁴3 şeklinde gösterebiliriz. Şimdi asıl konuya gelirsek, Graham sa­yılarını sırasıyla yazalım. g₁ = 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3, g₂ = 3 ↑ ↑ ↑ … ↑ 3 (g₁ tane ok) ve bu zincir 64 adet sürer. Tabi ki g₆₅ diye bir sayı yoktur.

            Ama henüz asıl canavarlarla karşılaşmadık bile.

            TREE(3) : Bir ağaç oyununda 3 renk kullanılarak oynanabilecek en uzun o­yunun hamle sayısı. Bu sayı akıl almaz derecede büyüktür. TREE(1) = 1, TREE(2) = 3 ama TREE(3) o kadar devasadır ki Graham sayısının yanında uçsuz bucaksız bir dağ gibi görünür. Masum bir çocuk oyunundan fırlayan korkunç bir canavar…

            SSCG(3) : Basit alt çizge (graf) oyunundan ortaya çıktı. Tasavvur ötesi  bu sayının en alt sınırları bile TREE(3)'ü binlerce kez katlar.

            Busy Beaver (BB) Fonksiyonu : Turing makinesinin durma süresinden doğdu. Bu sayı tam anlamıyla, hesaplanamaz bir canavar.

            Rayo'nun sayısı (2007): Önümüzde sınırlı sayıda sembol kullanabildiğimiz bir matematik dili olduğunu düşünelim. Bu sembollerle tanımlayabileceğimiz bütün sayıları bulalım. Sonra bu sayıların hepsinden daha büyük olan en küçük sayıyı seçelim. İşte Rayo'nun sayısının temel fikri budur. Örneğin tanımlama sistemimiz şu olsun: “100'den büyük en küçük sayı”. Ve biraz daha güçlendirelim.  Ama bu zayıf. Biraz daha güçlendirelim. “Şimdiye kadar tanımladığımız bütün sayılardan büyük olan en küçük sayı.” 

            BIG FOOT : Burada tarif edebildiğimiz şeyleri tarif etmek fikrinden gidilir. Örneğin bir sayı tarifi yapılır  ve sonra da tarifin tarifi yapılır. Bu böyle devam edilerek en güçlü tarif sistemi geliştirilip daha büyük sayılar oluşturulur. Daha büyük tarif sistemi daha büyük sayı demek. Tam bir koca ayak. Bu sayı dehşet verici bir büyüklüğe sahip.

            Burada duralım. Yoruldunuz, değil mi? Önce sayıları büyüttük, sonra onları üreten işlemleri büyüttük, en sonunda da sayıları tanımlama gücümüzü büyüterek sayılar ürettik. Dikkat ederseniz, en sonda rakamlardan bile bahsetmedik.  

            Önceki Sorunun Cevabı: Dönen para kendi etrafında 2 tur atmış olur. Çünkü dönen paranın merkezi daha uzakta olduğundan kat edeceği yol daha uzun olacaktır. Şöyle anlatayım: Her iki paranın da yarıçapı r olsun. Dönen paranın merkezinin izleyeceği dairenin yarıçapı da 2r olur. 2r / r = 2 olduğundan merkez nokta sabit paranın çevresinin iki katı kadar döner. Genel olarak, R ve r yarıçaplı paralar olursa dönen paranın kaç tur atacağını bulmak için (R + r) / r formülü kullanılır.