ASALLAR TERSTEN DAHA GÜZEL

Herkese selam, bugün sayılara biraz tersten bakacağız. Matematik dünyasını yüzyıllarca uğraştırmış olan asal sayıların pek çok ilginç özelliği bulunmaktadır. Bu özelliklerin neler olduğuna dair ayrı bir yazıda buluşalım. Ancak bugün asal sayıların pek az bilinen bir özelliğine değinmek istiyorum. Kahveniz hazırsa başlayalım.

p, 2 ve 5 sayısından farklı bir asal sayı olsun. O zaman 1/p bölme işlemi her zaman devirli bir ondalık sayı oluşturur. Örneğin p = 7 için 1 / p = 0,142857142857142857… şeklinde devirli bir ondalık sayıya eşit çıkar. Burada virgülden sonraki 142857 sayısı sonsuza kadar tekrar eder. Dikkat ederseniz devreden kısım 6 haneli bir sayı. Yani periyodu 6. İlkokuldan da bilindiği üzere kalan, bölen sayının en fazla 1 eksiği kadar olabilir. Yani devreden kısmın uzunluğu en fazla p – 1 kadar olabilir. Örneğimizde 7 – 1 = 6 oldu. Bu tür p – 1 periyotlu asal sayılara tam devirli asal sayılar denir. Peki her asal sayıda periyot uzunluğu değişebileceğine göre bunun uzunluğunu nasıl bulacağız? Elbette şu formülden rahatça bulabiliriz: 10^k = 1 (mod p). Eh, modüler aritmetikle aranız iyiyse rahatça bulabilirsiniz, demek istedim. Örneğimizde p = 7 olduğundan 10’un 6. kuvveti (k = 6) 1 kalanını verir. Böylece 1 / 7 işleminin devreden kısmının 6 basamaklı olduğu anlaşılır. Sizin için birkaç asal sayının devreden kısmını ve periyot uzunluklarının olduğu bir tabloyu aşağıya bıraktım. İncelenmesi çok zevkli.

Şimdi biraz eğlenceli matematiğe giriş yapalım. Bu 1 / 7 işlemini oyuncağımız yapalım ve üzerinde biraz oynayalım. Bu işlemin devirli kısmı olan 142857 sayısını (1, 2, 3, 4, 5, 6) rakamlarıyla çarpalım ve bu devirli kısmın rakamlarının nasıl yer değiştirdiğine bakalım.

1 . 142857 = 142857 3 . 142857 = 428571 2 . 142857 = 285714 6 . 142857 = 857142 4 . 142857 = 571428 5 . 142857 = 714285

Ne muhteşem değil mi? Bu özellik tam devirli asal sayılarda görülür. Yani bu özelliği 17, 19, 23, 29 ve 47 gibi asal sayılarda da görebiliriz. Gelelim başka bir eğlenceye. Devirli kısımların periyot uzunluğu çift olan asal sayılara bakalım. Bu periyot uzunluğunu iki eşit parçaya ayıralım ve bu iki parçayı toplayalım. Ve bunu birkaç asal için uygulayalım. Toplamlarının her zaman 9’lardan oluştuğunu göreceksiniz.

p = 7 için devirli kısım 142857 → 142 + 857 = 999

p = 13 için; 076923 → 076 + 923 = 999

p = 29 için, 0344827586206896551724137931 →

03448275862068 + 96551724137931 = 99999999999999

Sizce bu bir tesadüf mü? 1836 yılında Étienne Midy, çift periyot uzunluğuna sahip tam devirli asal sayılarda bu özelliğin olduğunu keşfetmiş ve kanıtlamıştır. Bu Midy teoreminin genişletilmiş versiyonunda periyot uzunlukları iki parçaya bölünebileceği gibi üç ve daha fazla parçaya bölünebilen yapılar da oluşturulabilir. Örneğin p = 13 asalının devirli kısmı 07 + 69 + 23 = 99 olacak şekilde üç parçaya ayrıldı.

Haftanın Sorusu: Biri yanındakini göstererek, “Bu benim annemdir.” der. Diğeri de yanındakine, “Ben doğduğumda o çoktan yürüyordu.” der. Bu nasıl olur?

Geçen Sorunun Çözümü: Herhangi bir oyunun başında m tane misketi varsa o zaman 2m – 1 tane kazanacak ve oyunun sonunda toplam 3m – 1 tane misketi olacak. O zaman denklemi kuralım ve şöyle geriye doğru hesaplayarak gidelim.

Oyun Sonu Misket Sayısı = 3(Oyun Başı Misket Sayısı) - 1

En sondaki 4. oyunda 365 tane misketi olduğuna göre 4. oyunun başındaki (3. oyunun sonu) misket sayısı 122 adet olur. Buradan devam ederek 3. oyunun başında (2. oyunun sonu) 41 tane; 2. oyunun başındaki (1. oyun sonu) 14 tane; 1. oyunun başında yani daha oyuna başlarken 5 tane misketi olduğunu öğreniriz. Evet, cevap 5. Bu cevap soruda geçen “misket” kelimesinin sayısı kadardır.

Selametle.