DÜZ ÇİZGİYE İTİRAZ: SONSUZLUĞA KIVRILAN YOLLAR

Herkese selam, bugün sizleri Karesiz Kök sokağında biraz dolandıracağım. Hırsızlık ifade eden dolandırmak değil elbette. Biraz başınız dönecek. Hiç merak ettiniz mi? Bir aracın virajı alırken devrilmesini önlemek için virajı nasıl tasarlardınız? Ya TV antenlerinin daha iyi çekmesi için şeklini nasıl ayarlardınız? Peki ya bir bitkide alt alta olan yaprakların güneş ışığından daha fazla yararlanmak için hangi ölçüte göre dizildiklerini biliyor musunuz? Ve daha bir sürü soru… Bir merkezin etrafında dönen nok­tanın merkeze uzaklığı değişmiyorsa o noktanın etrafında bir çemberin oluşacağı bilinir. Peki ya değişirse? Her dönüş, başladığı noktaya varmak zorunda değil neticede. Evet, tahmin ettiğiniz gibi bugün spirallere bir bakış atacağız. Kahveniz de hazırsa başlayalım.

Spiraller doğada birçok yerde karşımıza çıkar. Bitkiler güneş ışığından da­ha fazla yararlanmak için yapraklarını 137,5 dere­celik açılarla konumlandırırlar. Bu da altın açıyla oluşan spiral­leri meydana getirir. Hız farkından do­layı galaksilerin şekli de büyüme farkından ortaya çıkan salyangoz, konç ve diğer bazı hayvanların kabukları da spiralleri o­luşturur. Moleküler biyolojide DNA protein moleküllerinin ve aminoasit zincirlerinin en küçük hacimde maksimum kararlılıkla paketlenmesi spiraller sayesindedir

Spiralleri yalnızca kıvrılan bir eğri olarak görmek, arkalarındaki dünyayı hafife almak demektir. Kıvrılma açısına ve hangi kurala gö­re büyüdüğü onun kimliğini belirler. Böylece ma­tematikte bir değil birkaç özel spiral bulunmakta­dır.

Spirallerin cebirsel oluşumunda açı, yarıçap ve katsayılar rol oynar. r = k . ɑ olarak ifade edilen (burada r; yarıçapı, ɑ; açıyı, k ise bir katsayıyı temsil eder) Ar­şimet spirali, açı arttıkça merkeze u­zaklık sabit bir oranda artar. Bu ne­denle ardışık turlar arasındaki uzak­lıklar eşittir. Bu eşit uzaklıklar kullanılarak pergel ve cetvel olmaksızın bir açı üç eşit parçaya bölünebilmektedir.

Logaritmik spiralde, açı arttıkça merke­ze uzaklık artar. Jacob Bernoulli’nin mezarına çizilmesini istediği spiral buydu. Jacob Bernoulli logaritmik spirale o kadar hayrandı ki mezar taşına bu spiralin kazınmasını ve yanına "Değiş­miş olarak yeniden doğarım" sözünün yazılmasını istemiştir. Fakat mezar taşını yapan usta logaritmik spiral yeri­ne, her nereden biliyorsa, Arşimet spi­ralini kazımıştır. Formülünü aşağıda verdim,

Fermat spirali, ayçiçeğinin tohumlarının dizilişinden bilinir. Elektrik mühen­disliğinde, odaklanmış güneş enerjisi santrallerinde kullanılan heliostat aynalarının mer­keze gölgelenme yapmadan yerleşti­rilmesinde, parçacık hızlandırıcılarda yörünge tasarımı, bilgisayar grafiklerinde pürüzsüz eğri harmanlama algo­ritmalarının üretilmesinde kullanılır.

Dik kenarlarından biri daima 1 birim olan dik üçgenlerin hipotenüsleri ü­zerine ardışık olarak inşa edilmesi ile oluşturulan Teodorus spirali, sa­hibi Kireneli Teodorus tarafından MÖ 5. yy.da kök 3'ten kök 17'ye kadar tam kare olmayan sayıların karekök­terinin irrasyonel olduğunu kanıtla­mak için kullanılmıştır.

Lituus (Kroş eğrisi) spirali, ismini antik Roma din adamlarının ayinlerde kullan­dığı ve günümüzde piskoposların taşıdı­ğı ucu kıvrımlı "lituus" denilen sembol­den almaktadır. Bu spiral elektromanyetik teori ve RF (radyo frekansları) mühen­disliğinde geniş bantlı anten geo­metrilerinin geliştirilmesinde kullanılır. Bu spiral dikkate alınarak geliştirilen an­tenler yüksek performans sergiler.

Ne çok kullanım alanları var, görüyor musunuz?

Elbette bahsetmediğim birkaç spi­ral daha var. Virajlarda yumuşak bir dönüş sağlayan Klotoid spirali gibi. Bu spiralin hiperbolik spirallerle birlikte incelenen çok ilginç konular bulunmaktadır. Ayrıca yarıçapı altın oran kadar artan altın spirali de unutmayalım. İki boyutlu dünyada spiraller olur da üç boyutlu dünyada olmaz mı? Helis ve konik spirallerle tanışın. Görsellerini aşağıya bıraktım.

Gelelim günün sorusuna: Bir çocuk elindeki bir miktar misket ile dört oyun oynuyor ve hepsini kazanıyor. Her oyunda oyunun başında elinde bulunan misketlerin 2 katından 1 eksik kadar yeni misket kazanıyor. Oyunların sonunda elinde 365 misketi olduğuna göre ilk başta kaç misketi vardı?

Size bir ipucu: Bu sorunun cevabı aynı zamanda sorunun içinde. Bugüne kadar yazdığım en iyi soru bu olsa gerek. Hazırlarken çok keyif aldım.

Çocukken şişe şişe biriktirdiğim misketler geldi aklıma.

Önceki Sorunun Çözümü: Burada günler sola doğru giderse çıkarma, sağa doğru giderse toplama işlemini kullanacağız. Şimdiki Bugün X olsun. Dünden önceki gün X – 2 olacak. Bu (X – 2). günün yarın olması için 1 gün daha sola gitmemiz gerekir. O halde X – 2 - 1 = X – 3 ifadesi Önceki Bugün olur. Şimdi sırasıyla diğer ifadelere geçelim. Yarından sonraki gün X + 2 olacak. Bu (X + 2). günün yarın olması için 1 gün sola gitmemiz gerekir. O halde X + 2 - 1 = X + 1 olacak ve bu da Sonraki Bugün olur. Bu eşit uzaklıktaki iki Bugün’ün tam ortası Çarşamba gününe denk gelir. Eşit uzaktalardı ya… [(X – 3) + (X + 1)] / 2 = X - 1 olur ve bu da Çarşamba günü demektir. Şimdiki Bugün X olduğuna göre bilet dün alınmış. Yani Cahit uçağı kaçırmış. Umarım aklını da kaçırmaz.

Selametle.